EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Boletín Informativo

A. Brent Davis

El Arte de la Matemática1

A. Brent Davis, Universidad de Columbia Británica

Hacer matemática es hacer investigación,

Io cual significa crear matemática

como un poeta crea poemas.

(King,1992,p.4)

En su gran mayoría, enunciados acerca de Ia matemática que hacen referencia al arte se oyen raras veces fuera de Ias discusiones de los impresos de Martin Escher o, más recientemente, de las imágenes de fractales generadas por computadoras. Tales temas están entre los pocos puntos de intersección entre estas dos disciplinas... áreas de actividad erudita que normalmente se consideran, no simplemente distintas, sino que aparentemente son opuestas. De hecho. La sugerencia de que Ia matemática pueda tener algún valor estético parece estar en pura contradicción con los énfasis pragmáticos de nuestras experiencias con Ia matemática escolar.

En esta breve comunicación, deseo explorar Ias fronteras que se han construido entre el arte y Ia matemática, y sugiero que Ia apreciación del quehacer de los "verdaderos" artistas—considerada junto con Ia comprensión de lo que hacen los "verdaderos" matemáticos—nos obligan a re-considerar las separaciones convencionales entre estas dos disciplinas. También quiero sugerir que una comprensión profunda de Io común al arte y a Ia matemática nos impulsaría a enseñar Ia matemática de manera muy diferente, y presente una actividad que uso en mis clases que yo llamo "tarjetas fractales" para ilustrar este punto.

En su reciente libro, el matemático Jerry P. King (1992) presenta un argumento semejante y, en el proceso, hace una crítica devastadora de Ias experiencias matemáticas que los estudiantes tienen desde el kindergarten hasta cursos de post-grado. Entre los muchos puñetazos que King le tira a Ia matemática escolar está la siguiente critica dirigida tanto al contenido curricular como a Ia tendencia de planificar tal contenido en términos de sus aplicaciones a la "vida real": 

Contar un vuelto, medir Ias dimensiones de una alfombra, o balancear una chequera solo requiere un conocimiento mínimo de Ia matemática. Desde hace tiempo, yo me pregunto por qué tales actividades tan banales requieren tanta educación (King, 1992, p. 278).

 Igualmente, los maestros de matemática, no escapan a sus críticas:

Esta persona [i.e., el maestro] tenía tres características que eran más o menos comunes a los maestros de matemática en Ia secundaria: no lê gustaba Ia matemática, no entendia Ia matemática, ni tampoco creia en Ia importância de la matemática (p. 16).

Aún cuando yo encuentro estos comentarios un poco duros—porque realmente Ia mayoría de mis profesores en Ia escuda secundaria no se pueden encajar en el molde que él ha descrito, ni yo, en mis momentos de acerva autocrítica y reproche personal, caracterizaría mi enseñanza de Ia matemática secundaria en esos términos—los comentarios de King nos proporcionan una imagen bastante precisa de lo que generalmente se cree sobre los maestros de Ia matemática secundaria. Como evidencia de esta afirmación solo se necesita echar un vistazo a Ias imágenes de maestros presentadas en películas, en caricaturas de periódico, y a través de otros medios populares. Pero nosotros no debemos malinterpretar sus comentarios. La raíz del problema con Ia matemática escolar, según Ia versión de King, no es la mala enseñanza, sino Ia ignorancia cultural sobre Ia naturaleza de Ia matemática. La enseñanza, sin embargo, es cómplice de esta ignorancia. La gran pregunta, entonces, parece ser: ¿Cómo es que la matemática escolar se ha desarrollado tan distante del tipo de actitud inquisitiva que caracteriza la actividad de los matemáticos profesionales? Resulta que la pregunta tiene una respuesta sencilla. La verdad del asunto es que la matemática escolar ha sido incapaz de despojarse de su piel histórica. La intención original de la enseñanza de la matemática era la de equipar a los niños con habilidades básicas de computación y de preparar a los trabajadores del futuro para realizar tareas repetitivas y disciplinadas—atributos que eran fundamentales en la época para Ia cual Ia matemática escolar moderna fue concebida—esta enseñanza no ha evolucionado con Ias normas y necesidades sociales, a pesar de los concertados esfuerzos de agencias tales como Ia BCAMT² y NCTM³. En el mundo laboral de hoy. Ia flexibilidad y el pensamiento crítico son características más importantes que Ia conformidad y disciplina rígida. Sin embargo. Ia inercia de las prácticas docentes pasadas y Ias presiones de programas de estudios sobrecargados de prescripciones (para no mencionar sus correspondientes exámenes) militan contra el cambio y Ia evolución que sabemos necesita Ia matemática escolar.

King también habla extensamente sobre Ia relación entre el arte y Ia matemática: siendo su tesis central que Io que motiva a Ia mayoría de los matemáticos profesionales es Ia dimensión estética de su trabajo. El promueve Ia re-consideración del por qué enseñamos matemática (e.g., los énfasis de utilidad y del trabajo disciplinado ya no son apropiados) y, como enseñamos matemática (e.g., Ia separación convencional del arte y Ia matemática necesita ser disuelta, conjuntamente con Ias separaciones similares entre Ia matemática y otras materias). En efecto, King parece unirse a muchos otros en su llamado hacia Ia reconstitución de nuestros cuerpos de conocimiento, alejándonos del paisaje actual del curriculum fragmentado que surgió al mismo tiempo que la escuela moderna y principalmente como resultado de ella.

En un contexto histórico la sugerencia que nos hace King nos recuerda una noción que débilmente se asemeja a Ia palabra "arte." Así como Ia "aritmética" (y "correcto", "retórica", "ritual", y muchos otros términos), el "arte" se deriva del morfema proto-Indo-Europeo Rt, el cual Pirsig (1991) define como lo "primero creado, bello, con orden repetitivo y de corrección estética y moral" (p. 254). Recordando un tiempo en el que había una percepción integrada del conocimiento y del aprendizaje. Estas nociones están implícitas en Ia descripción que hace King de Io que significa hacer matemática:

[Hacer] matemática significa producir matemática nueva. Realmente, significa producir matemática que es nueva y que es simultáneamente importante.... [ En] un sentido técnico, tu haces investigación matemática cuando tu produces matemática que es nueva para ti...

Si tu has inventado el problema y Io resuelves tu mismo, tu trabajo se acerca a Io que los matemáticos realmente hacen. (pp. 34-35).

Esta afirmación es compatible con, y sustentadora de, el reciente énfasis en Ia "construcción de problemas" como un elemento de Ia matemática en Ia escuela. Pero King, parece, iría aún mas lejos, sugiriendo que tal actividad debe ser fundamental a, y no meramente un componente de, el estudio de la matemática. Es este tipo de actividad que es, en términos de King, artística: el planteo de problemas novedosos. Ia búsqueda y Ia creación de métodos, y de una solución elegante.

Implícita en Ia descripción que King hace sobre Ia actividad matemática se halla una comprensión del arte y de Ia matemática como sirviendo una doble función. Como Gadamer (1990) explica, el arte primero representa—esto es, una obra de arte evoca algo familiar a nuestras percepciones, nos recuerda algún objeto o suceso. Pero tal representación es Ia función mínima del arte. Más importante, una obra de arte nos presenta algo nuevo—algo anteriormente imperceptible, una nueva capacidad para actuar. Ahora, esta función representadora es bidireccional, porque así como nosotros llegamos a ver algunos fenómenos de manera diferente, nosotros inevitablemente de alguna manera nos re-interpretamos a nosotros mismos. Nosotros percibimos, actuamos y somos de manera ligeramente diferente. Es así que el matemático David Henderson, reflejando una noción que artistas han enunciado por milenios, sugiere, "yo hago matemática para descubrirme a mi mismo" (Pimm, 1995, p. 11).

Claramente Henderson habla de un tipo de matemática muy diferente a Ia que normalmente se encuentra en Ias escuelas públicas y en aulas universitarias. Obviamente, es una matemática que está guiada por un tipo de razonamiento diferente: que al entender Ia matemática nos entendemos a nosotros mismos, individual y colectivamente. Y esta es una comprensión que, yo quisiera argumentar, está siendo cada vez más importante al crecer nuestra conciencia de nuestras relaciones con los aspectos no humanos de Ia biosfera... y del papel de Ia matemática en apoyar nuestras concepciones (modernas y occidentales) de esa relación en términos de su administración y comprensión, en lugar de co-dependencia y co-evolución. El potencial del estudio de Ia matemática para estimulamos a pensar en estos asuntos es bien impresionante, aunque difícil de apreciar en una cultura saturada con Ia matematización de interpretaciones de fenómenos naturales y sociales. Una hojeada rápida a periódicos matutinos confirmará esta afirmación. Pocos artículos están libres de interpretación cuantitativa, y pocos dejan de capitalizar el modo privilegiado de argumentación que Descartes desarrolló a partir de Ias demostraciones lógicas de Ia geometría. Debido a que Ia interpretación matematizada se ha hecho ciegamente obvia en nuestra cultura, yo sospecho que nosotros necesitaríamos que se introduzcan temas nuevos en nuestros estudios de Ia matemática que hagan más obvia Ia manera en que nuestros conocimientos forman nuestras percepciones del mundo.

Consideremos, por ejemplo, Ia geometría de fractales. Para los que no están familiarizados con este campo Gleick (1987) proporciona una introducción informativa y accesible. Yo recuerdo mi primer contacto con este tema, hace aproximadamente una década, especialmente Ia manera en que yo repentinamente comencé a percibir el mundo de manera diferente. Este tópico me fue presentado mediante una simulación por computadora del desarrolló de un árbol fractal cuyas primeras "etapas de crecimiento" se ilustran en Ia Figura l. Después de esa introducción, yo no podía considerar a los árboles, helechos, caracoles—o nada viviente en todo caso— de Ia misma manera. Yo no podía resistir estar atento a Ia semejanza de sus formas, asombrarme de su simplicidad y del hecho de que a nosotros, colectivamente, nunca se nos había ocurrido estudiar estas formas de esta manera.

Fig 1. Primeras etapas de crecimiento de un simple árbol fractal

Para describir este evento de manera diferente, mi experiencia con Ia geometría de fractales fue una experiencia estética, artística. No solo me fueron representados objetos familiares (e.g., un árbol), sino que también me fue presentado algo nuevo (Ia elegante simplicidad de su estructura). Yo comencé a ver al mundo en una nueva forma y tuve Ia oportunidad de cuestionar Io que yo, hasta ese momento, daba por sentado. Ese es el poder transformador de Ia investigación matemática.

La pregunta que ahora surge es: Como podrían estas concepciones de Ia naturaleza de Ia matemática y de Ia investigación matemática ser incorporadas dentro de Ia matemática escolar? Ellas parecen tener una incompatibilidad particular a Ia luz de programas curriculares estáticos, expectativas osificadas, y suposiciones incuestionables, que no será nada fácil de resolver. He reflexionado largamente sobre este asunto y, en Io que sigue, bosquejo una actividad basada en la geometría de fractales, pero que creo tiene el potencial de poderse utilizar en diferentes temas, grados, y disciplinas para involucrar a los estudiantes en el aspecto artístico de Ia matemática. Comenzaré con una rápida descripción de como se construyen Ias tarjetas fractales. Uno comienza

estableciendo una regia de cortaduras y dobleces que se repetirán varias veces. Para Ia tarjeta que se ilustra en Ia Figura 2, por ejemplo. Ia regia es hacer dos cortaduras paralelas a Io largo del borde doblado en un pedazo de papel, doblarlo sobre Ia solapa resultante, y luego se "dobla hacia adentro". Las figuras 3 y 4 ilustran y elaboran este proceso.

En términos de variaciones de este procedimiento, uno está limitado solamente por su propia imaginación. Mis estudiantes, por ejemplo, han generado árboles, campanas, ángeles, espirales, y escaleras, entre muchas otras formas. Y, desde el punto de vista de Ias habilidades motoras requeridas para emprender este tipo de actividad, mi experiencia sugiere que Ia mayoría de los estudiantes son capaces de construir estas tarjetas a partir de los grados 5 ó 6 aunque, yo debería agregar. Ias etapas iniciales en Ia construcción de tarjetas son un poquito "complicadas". Finalmente, con respecto al nivel de desarrollo conceptual que se necesita para apreciar Ia matemática en este contexto, yo he encontrado que estudiantes desde el primer grado hasta post-grado son capaces de ubicarse en esta actividad en una forma personalmente significativa.

Resulta que Ias tarjetas son a Ia vez visualmente atractivas y algo adictivas⁵, dos elementos claves para cualquier experiencia estética. Pero, desde el punto de vista del aula, su poder verdadero está en su potencial para Ia exploración de Ia matemática. Con Ia tarjeta ilustrada, por ejemplo, uno podría estudiar los patrones de números que surgen mediante Ias iteraciones consecutivas (e.g., pueden contarse el número de cuboides nuevos que surgen con cada generación, puede calcularse el área acumulada de Ias superficies, puede determinarse Ia longitud total de Ias cortaduras, etc.), cualquiera de Ias cuales puede investigarse a un nivel intuitivo-informal o, en los cursos más altos, a un nivel formal-deductivo. Además, esta actividad puede incluir discusiones de ternas tales como el cálculo de dimensión fraccionaria (que involucra el uso de logaritmos) o una investigación más detallada de Ia dinámica del caos, de donde proviene Ia geometría de fractales.

Elaine Simmt (Simmt & Davis, pronto se publicará) se refiere a este tipo de actividad como de "entrada-variable"—esto significa que, sin considerar el entrenamiento matemático formal de cada uno es posible estructurar una actividad que sea matemática y personalmente apropiada para cada individuo. En mi propia enseñanza , yo he encontrado que esta característica particular tiene un gran valor , ya que me quita Ia responsabilidad de adaptar actividades a Ia gama de capacidades presentes en cualquier aula. Se puede confiar que los estudiantes con capaces de hacer esto por si mismos, Io cual me permite dedicar más tiempo a apoyar y participar en exploraciones variadas⁶.

La riqueza de esta actividad en particular ha sido explorada en varios contextos. En los niveles de enseñanza que me interesan. Ia matemática de los grados 7 hasta el 9, yo he notado que los estudiantes recurren virtualmente a cada terna curricular en sus exploraciones de tarjetas fractales, desde Ias fracciones hasta Ia geometría, desde Ia aritmética al álgebra, todo al mismo tiempo. No solo les he observado aplicar sus conocimientos previos, sino que he tenido Ia oportunidad de escuchar corno los estudiantes han notado interconexiones entre los conceptos y, aunque menos frecuente, como han desarrollado  matemática novedosa para lidear con problemas que ellos mismos se plantean y problemas que surgen de manera natural en Ia resolución del problema considerado.

Es importante en este momento realzar por Io menos un punto débil en el tema "matemática como arte" que subyace este artículo: Ia dimensión social de Ia investigación matemática. John Barrow (1991) Io plantea de esta manera:

[Un] aspecto intrigante de Ia matemática que parece distinguirla de Ias artes... es Ia magnitud con que los matemáticos... colaboran en su trabajo... [En] matemática el proceso colaborador llega más profundamente a entrelazar los autores en un proceso... a través del cual ellos son capaces de producir un resultado que no hubiera podido ser logrado medianamente por uno de ellos. (p.267-268).

Barrow indica una de Ias cualidades de Ia investigación matemática que lentamente se está apreciando tanto por los educadores que están promoviendo mayor interacción entre los estudiantes, como por los teóricos del conocimiento quienes están cada vez más reconociendo el pensamiento como un fenómeno social más que como un fenómeno estrictamente subjetivo.A pesar de este punto de divergencia, sin embargo, el valor de asociar Ia matemática con el arte es resaltado en Ia formulación de Gadamer respecto a los roles de representación y presentación de estas disciplinas. Como tal, yo creo que una concepción artística de Ia matemática puede ayudar a que Ia matemática escolar se despoje de su limitante piel utilitaria. Y esta transformación no requiere otra ronda de innovaciones curriculares ni un conjunto nuevo de libros. Meramente demanda que Ia matemática escolar deje de continuar de ser modelada para, y puesta al servido de, Ia fábrica industrial. Ya no requerimos trabajadores para tareas irreflexivas y repetitivas. Más bien, nosotros hemos entrado en una era de espíritu creativo, de diversidad, de fluidez. Lo que se necesita, entonces, es revisar nuestro sentido de Io que significa el quehacer matemático... un movimiento que renuncie a esta disciplina como el epítome del conocimiento estático y cierto hacia una concepción de Ia matemática como, según los matemáticos Davis y Hersh (1981), una de Ias  humanidades, un arte.

Referencias

Barrow, John D. (1992). Pi in the Sky: Counting, Thinking, and Being. Oxford, GB: Clarendon Press.

Bateson, Mary Catherine. (1994). Peripheral Visions: Learning Along the Way. New York: HarperCollins.

Davis, Philip J. and Reuben Hersh. (1981). The Mathematical Experience. Boston, MA: Houghton Mifflin.

Gadamer, Hans-Georg. (1990). Truth and Method. New York: Continuum.

Gleick, James. (1987). Chaos: Making a New Science. New York: Penguin Books.

King, Jerry P. (1992). The Art of Mathematícs. New York: Fawcett Columbine.

Pimm, David. (1995). Symbols and Meanings in School Mathematics. London: Routledge.

Simmt, Elaine & Davis, Brent (pronto se publicará). Fractal Cards: A Space for Exploration in Geometry and Discrete Mathematics. Mathematics Teacher.

Notas:

¹ Esta es una traducción del artículo "The Art of Mathematics" por el mismo autor presentado en Ia conferencia anual de Ia BCAMT en Octubre/95. La traducción fue hecha por Sandra Crespo. Este artículo fue publicado en inglés en VECTOR: JOURNAL OF THE BRITISH COLUMBIA ASSOCIATION OF MATHEMATCS TEACHERS.

² BCAMT es Ia asociación de maestros de matemática de Ia provincia de Columbia Británica en Canadá.

³ NCTM es Ia mayor asociación (y más influente) de maestros de matemática de Norteamérica, con asiento en Reston, Virginia (E.U.).

⁴ Las ilustraciones de Ias tarjetas fractales han sido tomadas de Simmt & Davis (será publicado en los próximos meses). Fueron dibujadas por Brian Becka.

⁵ Esta referencia a Ia naturaleza adictiva de este tipo de actividades no se presenta a Ia ligera. Yo opino que uno de los grandes fracasos de los sistemas modernos de educación es su inhabilidad de dar lugar a algunas de nuestras tendencias obsesivas. De hecho—esto es particularmente cierto de Ia matemática escolar—a veces parece que Ias actividades en el aula se estructuran deliberadamente para minimizar el riesgo del envolvimiento profundo. Si no prestamos una atención directa a este asunto, yo tengo poca esperanza de ver el aspecto artístico de Ia matemática en Ia mayoría de Ias clases.

En un libro reciente, Mary Catherine Bateson (1994) ofrece una discusión provocativa y perspicaz al respecto, enmarcando sus pensamientos desde el punto de vista de Ia experiencia, los intereses, y Ia educación suya y de otros. Se hace aparente que una cualidad crítica que promueve el éxito en nuestra y otras culturas es Ia capacidad (y Ia libertad) de obsesionarse con algo.

⁶ La gama de sofisticación matemática inherente en esta actividad se hizo aparente para mi en una conferencia reciente de matemáticos y de investigadores en educación matemática. Muchos de nosotros pasamos varias horas de una tarde tratando de entender un resultado aparentemente anómalo: En Ia versión idealizada de Ia tarjeta fractal que se ilustra arriba —esto es , en Ia figura que resultaría si fuera posible aplicar un número infinito de iteraciones—Ia longitud del "segmento" que va de izquierda a derecha, a Ia mitad de Ia página, debería ser a√2, donde a es Ia longitud media del pedazo original de papel. (Este cálculo, que utiliza el Teorema de Pitágoras, asume que Ia tarjeta obtenida ha sido doblada a un ángulo recto, y es quizás mejor apreciado construyendo Ia tarjeta ilustrada y mirándola desde arriba.) Pero Ia longitud de ese segmento no es a√2, es 2a, porque no se ha cortado ni perdido ningún pedazo de papel. Para plantearlo de manera diferente, en Ia figura idealizada, un segmento de longitud a ha sido plegado como un acordeón de manera que se contiene enteramente en un segmento de longitud a√2! Una de Ias maravillas de Ia dimensión fraccionaria.

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INVITACIÓN

Recibimos el siguiente memorandum:

A:                  El Comité Interamericano de Educación Matemática

De:                Profesor Jerry. P. Becker

Referencia:    Grupo de Trabajo en ICME-8

El Octavo Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME-8) se celebrará en Sevilla, España de Júlio 14 a Júlio 21 de 1996. Soy el Coordinador del Grupo de Trabajo 21 sobre "La Enseñanza de Matemática en Diferentes Culturas." Los miembros del Grupo Organizador creen que el tema del Grupo de Trabajo 21 es interesante para los educadores matemáticos de todo el mundo. Debido a esto agradeceríamos mucho si ustedes pudieran darle publicidad, utilizando cualquier medio a su alcance, desde ahora hasta el inicio del Congreso, a nuestro Grupo de Trabajo. A continuación le proporcionamos informaciones sobre nuestro Grupo de Trabajo:

Grupo de Trabajo 21: "La Enseñanza de Ia Matemática en Diferentes Culturas."

Comité Organizador: Jerry P. Becker (E.E.Ü.U.), Organizador Principal; Andrés Marcos (Espana), Organizador Local; Martha Villavicencio (Peru); Andy Begg (Nueva Zelandia); Sunday Ajose (EE.UU.); Toshiakira Fujii (Japón).

El Grupo de Trabajo 21 tendrá cuatro sesiones de 90 minutos. En Ia primera sesión habrá dos conferencias plenarias: Terezinha Nunes (Inglaterra), Bill Barton (Nueva Zelandia). En Ia segunda y tercera sesión los participantes se dividirán en subgrupos y varios trabajos que resumen Ias ideas principales serán presentados y luego discutidos. Los subgrupos enfocarán Ias siguientes áreas:

(1) Las Influencias de Ia Cultura en Ia Enseñanza y en el Curriculum; (2) Preparando los Maestros para enseñar a Ia Diversidad; (3) Investigación Cruzando Culturas; y 4) Aprendizaje de Ia Matemática Fuera de Ia Escuela.

En Ia cuarta sesión habrá una discusión abierta de los todos los temas por los participantes después que cada uno de los subgrupos haya presentado un resumen de sus deliberaciones. Se espera que Ias deliberaciones de este grupo de trabajo serán publicadas después del Congreso. Se invita a todos los participantes, hagan o no hagan presentaciones, a someter trabajos al Comité Organizador con miras a su inclusión en dicha publicación.

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NOTICIAS

l. Octavo Congreso Internacional de Educación Matemática

Se pueden obtener informaciones sobre el Octavo Congreso Internacional de Educación Matemática a través de Ia siguiente dirección electrónica: <icme8@obelix.cica.es>. También informaciones sobre el Congreso pueden conseguirse a través de http:/www./icme8.us.es/icme8.html. Puede contactarse el Comité Organizador Local escribiendo a:

Secretaria Técnica ICME - 8

Apartado 4172

41080-Sevilla

España

FAX; + -34-5-421-8334

                 o

Comité Organizador

SAEM Thales

Facultad de Matemáticas

Tarfia, s/n

41012 Sevilla, España

Fax: +34 5 4423 6378

Costo de inscripción:           Antes del 31 de mayo, 1996: US$410 (50,000 Ptas.)

Después del 31 de mayo 1996: US$470. (58,000 Ptas.)

Residências universitárias:

Hay disponibles unas 1500/1700 camas en residencias universitarias localizadas en toda Ia ciudad de Sevilla. Costos en pesetas:

Categoría               Ofrecen            Habitación doble   Habitación sencilla

A                Aire Acond (AA), baño      6,000               4,500

B                    AA, no baño                5,400               4,000

C                    No AA, baño               5,400               4,000

D                    No AA, no baño            4,600               3,400

E*                   AA y baño                 4,600

* Categoria E: los edifícios son bungalows pre-fabricados.

Hoteles:

ICME- 8 ofrece una gama variada de hoteles totalmente equipados, incluyendo aire acondicionado. Los costos en pesetas que se indican a continuación incluyen habitación, desayuno y transporte a Ia sede del congreso.

Grupo      Habitación doble (2 camas)    Habitación sencilla

A                     12,000-12,500               9,000-9,500

B                     9,300-11,500                7,500-8750

C                     7,800 - 9,000                 6,250 - 7,500

Fecha limite para solicitar alojamiento: 30 de junio de 1996

2. Noveno Congreso Internacional de Educación Matemática

El Comité Ejecutio del ICMI anuncia que ha aceptado Ia propuesta del Japón para organizar el Noveno Congreso Internacional de Educación Matemática en el ano 2000. El Congreso se celebrará en China, cerca de Tokio.

3. Primer Congreso Internacional de Formación de Profesores

La Facultad de Formación Docente en Ciencias de Ia Universidad Nacional del Litoral, Santa Fe, República Argentina, organiza el Primer Congreso Internacional de Formación de Profesores, entre el 11 y 14 de septiembre de 1996 en Ia ciudad de Santa Fe. El tema del congreso es Ia formación de profesores de historia, geografía , matemática, biología y letras para el nivel medio y terciario. Para informaciones contactar:

Prof. Leonor Chena

Facultad de Formación Docente en Ciencias

Universidad Nacional del Litoral

Santa Fe

Argentina

e-mail: lchena@unl.e

4. Seventh South East Asian Conference on Mathematics Education (SEACME 7)

The SEACME 7 se celebrará en Ia Universidad Tecnológica de Hanoi, Vietnam, del 3 al 7 de Junio de 1996. Para obtener informaciones contactar a:

Nguyen Dinh Tri

The Organizing Committee of SEACME-7

Hanoi university of Technology

Dai Co Viet Road

Hanoi

Vietnam

5. Revista "Educación Matemática"

La Revista "Educación Matemática" exhorta a los miembros de Ia comunidad de educadores matemáticos de latinoamérica a someter a Ia consideración de su Comité Editorial artículos sobre educación matemática. Enviar los trabajos a:

Grupo Editorial Iberoamérica                                    

Serapio Rendón 125

06470 México D.F.

MÉXICO

Fax:535-2009

Información sobre Ias publicaciones del Grupo Editorial Iberoamérica pueden obtenerse escribiendo a Ia misma dirección: 7 volúmenes (3 números por volumen) de Ia revista Educación Matemática, 15 títulos en Ia Serie Didáctica para profesores de Matemática.

6. "una empresa docente" de Ia Universidad de los Andes (Bogotá) y el Grupo Editorial Iberoamérica de México se complacen en informar acerca de sus publicaciones en educación matemática.

1. Artigue, M.; Douady, R.; Moreno, L.; Gómez, P. (Editores). Ingeniería didáctica en educación matemática. Un esquema para Ia investigación y Ia innovación en Ia enseñanza y el aprendizaje de Ias matemáticas. 1995, 140pp. $7.800.

2. Castro, E.; Rico L.; Castro, E. Estructuras aritméticas elementales y su modelización. 1995, 89 pp. $5.400.

3. Gómez, P. et ai. Aportes de "una empresa docente" a Ia IX CIAEM. 1995,192 pp. $6.000.

4. Gómez, P. Interacción social, discurso matemático y calculadora gráfica en el salón de clase. Una aproximación experimental. 1995,130 pp. $6.000.

5. Gómez, P. Profesor, no entiendo. Reflexiones alrededor de una experiencia en docencia de Ias matemáticas. 1995,176 pp. $10.235.

6. Gómez, P.; Mesa, V. M. (Editores). Situaciones problemáticas de precálculo. El estudio de funciones a través de Ia exploración con calculadoras gráficas. 1996,164 pp. (en prensa).

7. Gutiérrez, A.; Jaime, A. Geometria y algunos aspectos generales de Ia educaciôn matemática. 1995, 43 pp. $3.800.

8. Kilpatrick, J.; Gómez, P.; Rico, L. (Editores). Educación Matemática. Errores y dificultades de los estudiantes. Resolución de problemas. Evaluación. Historia. 1995,131 pp. $7500.

Los precios están en pesos colombianos (un dólar equivale aproximadamente a 1.000 pesos colombianos). Si usted desea adquirir alguna de estas publicaciones liame en México D.F. al Grupo Editorial Iberoamérica al teléfono 7050585 o al FAX 5352009.Dirección: indicada en 5.

O llame en Bogotá, Colombia a "una empresa docente", teléfonos 284 99 11,2824066 o 286 9211 ext. 2717. Fax: 2841890. Dirección: "una empresa docente", Universidad de los Andes, Cra. 1 Este#18A-70,

Apartado Aéreo 4976. Servidor http://ued.uniandes.edu.co.

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PROXIMO NÚMERO DEL BOLETIN

El próximo boletín se publicará en NOVIEMBRE de 1996. Informaciones que los lectores deseen incluir en dicho número deben ser enviadas antes del l de octubre de 1996 a Ia siguiente dirección:

Eduardo A. Luna

Barry University

11300N.E.Second Ave.

MIAMI SHORES, FLORIDA 33161

ESTADOS UNIDOS

Fax: (305) - 899-3610

Correo electrónico: luna@dominic.barry.edu (Internet)

Favor de enviar los textos redactados con Ias informaciones o informes que se deseen publicar en estos boletines.

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Comité Interamericano de Educación Matemática 1995 -1999

Comité Ejecutivo:

Fidel Oteiza, Presidente

Edward Jacobsen, Vice - Presidente

Carlos Vasco, Vice - Presidente

Patricio Montero, Secretario

Eduardo Mancera, Vocal

Cipriano Cruz, Vocal

Alicia dei Villar, Vocal

Pedro Gómez, Vocal

Eduardo Luna, Pasado Presidente

Ubiratán D'Ambrosio, Ex - Presidente

luís Santaló, Ex- Presidente

 Edición de este número:

Eduardo Luna